Системы счисления: понятие, виды, перевод чисел

Число 101 в двоичной системе и число 101 в десятичной - это разные величины. Путаница ровно отсюда: одни и те же цифры означают разное, пока не ясно, в какой системе их записали. В школе и на первом курсе это одна из первых тем, без которой дальше кодирование и память компьютера объясняются через туман.

Правила бывают разные. Где-то значение цифры зависит от места в записи (как у нас с «десятками» и «сотнями»). Где-то место почти ни на что не влияет, и число собирают сложением знаков. От этого деления и пляшут классификации.

Позиционные и непозиционные системы

В позиционной системе вес цифры зависит от позиции. В записи 352 цифра 3 означает три сотни, 5 - пять десятков, 2 - две единицы. Сдвинули цифру влево - и вес вырос в основание раз (в десятичной - в 10 раз).

В непозиционной системе место почти не меняет «цену» знака. Классика - римские цифры: I, V, X, L, C, D, M. Число XXX - это три раза по десять. Удобно высекать на камне, неудобно считать столбиком и хранить в памяти машины.

Десятичная система счисления

Основание 10. Цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Мы выросли на ней, поэтому она кажется «естественной». На самом деле естественность тут культурная: десять пальцев, привычка писать счета в магазине.

Любое десятичное число раскладывается по степеням десяти. Для 274:

• 2 · 10² = 200
• 7 · 10¹ = 70
• 4 · 10⁰ = 4

Сложили: 200 + 70 + 4 = 274. Эта же схема работает для любой позиционной системы. Меняется только основание и набор цифр.

Двоичная система счисления

Основание 2. Цифры всего две: 0 и 1. Технически это удобно: сигнал есть / сигнала нет, ток выше порога / ниже порога. Длинный код из нулей и единиц проще надёжно передать, чем короткий код из десятка хитрых уровней сигнала.

Пример. Число 1101₂ (нижний индекс 2 показывает систему):

• 1 · 2³ = 8
• 1 · 2² = 4
• 0 · 2¹ = 0
• 1 · 2⁰ = 1

Итого 8 + 4 + 0 + 1 = 13₁₀. Если индекс не поставить, 1101 легко принять за «тысячу сто один» в десятичной. В задачах индекс или пометку «₂» почти всегда требуют явно.

Таблица малых степеней двойки стоит держать под рукой: 2⁰=1, 2¹=2, 2²=4, 2³=8, 2⁴=16, 2⁵=32, 2⁶=64, 2⁷=128, 2⁸=256, 2⁹=512, 2¹⁰=1024. С ней перевод «на глаз» идёт быстрее.

Восьмеричная система счисления

Основание 8. Цифры: 0-7. Почему она жива, если процессор «думает» двойкой? Потому что 8 = 2³. Три двоичных разряда аккуратно складываются в одну восьмеричную цифру. Запись короче двоичной, а перевод туда-обратно почти механический.

Пример: 157₈ = 1·8² + 5·8¹ + 7·8⁰ = 64 + 40 + 7 = 111₁₀.

Связка с двоичной: берём 157₈ и каждую цифру пишем тремя битами - 001 101 111, склеиваем: 1101111₂ (ведущие нули слева можно отбросить). Обратно: двоичное число режем справа налево тройками и каждую тройку меняем на цифру 0-7.

Шестнадцатеричная система счисления

Основание 16. Цифр не хватает «обычных», поэтому после 9 идут латинские буквы: A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15. В программировании её видно постоянно: цвета в CSS (#FF5733), дампы памяти, адреса, маски.

Почему удобно рядом с двоичной: 16 = 2⁴. Четыре бита = одна hex-цифра. Байт (8 бит) = ровно две hex-цифры. Отсюда привычка писать байт как 0x4F, а не как длинную простыню нулей и единиц.

Пример: 2F₁₆ = 2·16¹ + 15·16⁰ = 32 + 15 = 47₁₀.

Перевод из двоичной в hex: режем биты справа налево по 4. Число 10101101₂ → 1010 1101 → A D → AD₁₆.

Как переводить числа между системами

Два рабочих приёма закрывают почти все школьные и вузовские задания: разложение по степеням (когда цель - десятичная) и деление на основание с остатками (когда цель - другая система из десятичной).

Из любой позиционной в десятичную

Пишем число как сумму «цифра × основание^позиция», считая позиции справа налево с нуля. Уже делали это для 1101₂ и 2F₁₆. Тот же шаблон работает для 345₇ или 1201₅, если вдруг встретится редкое основание.

Ошибка, на которой сыпятся контрольные: забывают, что позиция начинается с нуля справа. Ещё одна - путают буквы hex (E это 14, не «буква в алфавитном номере»).

Из десятичной в другую систему

Делим число на основание нацело, записываем остаток. Частное снова делим. Остатки читаем снизу вверх - это и есть ответ.

Переведём 45₁₀ в двоичную:

• 45 ÷ 2 = 22, остаток 1
• 22 ÷ 2 = 11, остаток 0
• 11 ÷ 2 = 5, остаток 1
• 5 ÷ 2 = 2, остаток 1
• 2 ÷ 2 = 1, остаток 0
• 1 ÷ 2 = 0, остаток 1

Читаем остатки снизу: 101101₂. Проверка обратно: 32+0+8+4+0+1 = 45. Если проверка не сошлась, копайте деление, а не «магию систем».

Тот же алгоритм для восьмеричной и hex: делите на 8 или на 16. Остатки больше 9 в hex записывайте буквами A-F.

Между двоичной, восьмеричной и hex без десятичной

Если обе системы - степени двойки, десятичная как перевалочный пункт не нужна. Группируйте биты:

• в восьмеричную: по 3 бита
• в шестнадцатеричную: по 4 бита

Неполная группа слева дополняется нулями. Справа нули «для красоты» не добавляют: они сдвинут вес разрядов.

Зачем это в информатике

Двоичная система - язык железа. Восьмеричная и hex - человеческий сокращённый слой над ним. Десятичная - язык задач, оценок и привычных величин.

На практике это всплывает в кодировании чисел и текста, в размере памяти, в сетевых масках, в отладке. Даже цвет пикселя #00A8E8 читается проще, чем 24 бита подряд. Подробнее про то, как данные вообще переводят в машинный вид, есть в статье про кодирование информации.

Если в задании просят «перевести и объяснить», хватает схемы: основание, потом разложение или деление, потом проверка обратным ходом. Красивые слова про «важность цифровых технологий» сюда не добавляют ни балла, ни понимания.

Типовая задача с разбором

Условие: переведите 183₁₀ в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы. Покажите проверку.

В двоичную. Делим на 2:

• 183 ÷ 2 → 91, остаток 1
• 91 ÷ 2 → 45, остаток 1
• 45 ÷ 2 → 22, остаток 1
• 22 ÷ 2 → 11, остаток 0
• 11 ÷ 2 → 5, остаток 1
• 5 ÷ 2 → 2, остаток 1
• 2 ÷ 2 → 1, остаток 0
• 1 ÷ 2 → 0, остаток 1

Снизу вверх: 10110111₂. Проверка: 128+0+32+16+0+4+2+1 = 183.

В восьмеричную. Можно заново делить на 8, а можно сгруппировать уже готовые биты по три справа: 10 110 111 → 2 6 7 → 267₈. Быстрее и меньше шансов ошибиться в длинном делении.

В hex. Те же биты по четыре: 1011 0111 → B 7 → B7₁₆. Проверка: 11·16 + 7 = 176 + 7 = 183.

Если три ответа согласованы между собой и с десятичным исходником, задача закрыта. Если двоичная сошлась, а hex «уплыл», почти всегда виновата нарезка групп (забыли ведущий ноль слева или отрезали справа).

Частые ошибки

• Пишут число без указания системы. На бланке это выглядит как будто всё в десятичной.
• Путают направление чтения остатков. Остатки читают снизу вверх, не сверху вниз.
• В hex подставляют порядковый номер буквы в алфавите вместо значения (A это 10, не 1).
• При группировке битов дополняют нулями справа. Нужны слева.
• Считают, что «длинный двоичный код хуже». Для схемы хуже короткий код с кучей уровней напряжения.

Ещё один сюрприз для новичков: в языке Python запись 0b1011, 0o157, 0x2F как раз двоичная, восьмеричная и hex. Это не отдельная «магия языка», а те же системы с префиксами.

Краткая шпаргалка

• Основание = сколько цифр в системе; старшая цифра всегда на 1 меньше основания.
• Позиционная система: место цифры меняет её вес.
• 2, 8, 16 дружат между собой через группы по 1, 3 и 4 бита.
• В десятичную: сумма «цифра × q^k».
• Из десятичной: деление на q, остатки снизу вверх.
• Всегда проверяйте обратным переводом, особенно на контрольной.

Разобрали четыре рабочие системы и два способа перевода. Дальше уже практика: чем больше раз прогоните 30-50 примеров, тем меньше будет «магии» в остатках и степенях.