Разбавление и смешивание растворов: формулы и задачи

Раствор становится менее концентрированным, если к нему добавить растворитель, чаще всего воду. Это называют разбавлением. В другой группе задач соединяют два раствора одного и того же вещества с разной концентрацией. Тогда концентрация смеси зависит от того, сколько вещества пришло из каждой порции и каков общий объём или масса смеси.

Внешне такие задачи похожи: в обоих случаях нужно найти концентрацию, объём воды или объёмы исходных растворов. Главное правило одно: растворённое вещество не исчезает и не появляется само по себе. Если нет химической реакции, его количество до и после смешивания одинаково. Это правило позволяет не заучивать много отдельных формул, а выводить нужную из баланса вещества.

Что меняется при разбавлении раствора

Представим 100 г раствора соли с массовой долей 10 %. В нём содержится 10 г соли и 90 г воды. Если добавить ещё 100 г воды, соли по-прежнему будет 10 г, а масса всего раствора станет равна 200 г. Массовая доля уменьшится до 5 %. Вода увеличила массу раствора, но не изменила массу растворённой соли.

Массовую долю обозначают ω и обычно выражают в долях единицы или процентах. Её определяют формулой ω = m_{вещества} / m_{раствора}. Чтобы получить процент, результат умножают на 100 %. При разбавлении числитель этой дроби постоянен, а знаменатель растёт. Поэтому массовая доля всегда уменьшается.

Для молярной концентрации действует похожая логика. Она равна c = ν / V, где ν является количеством растворённого вещества в молях, а V объёмом раствора в литрах. При добавлении воды число молей растворённого вещества не меняется, но объём увеличивается, поэтому концентрация c становится меньше.

Формула разбавления

Пусть у исходного раствора концентрация c₁ и объём V₁, а после добавления воды концентрация стала c₂ и объём V₂. Количество растворённого вещества до и после разбавления одинаково: ν₁ = ν₂. Подставим связь ν = c × V и получим основную формулу:

c₁ × V₁ = c₂ × V₂.

Объёмы в этой записи нужно брать в одинаковых единицах. Подойдут литры или миллилитры, если обе величины выражены одинаково. Чтобы найти объём добавленной воды, сначала вычисляют конечный объём V₂, затем вычитают исходный: V_воды = V₂ − V₁. Формула не означает, что концентрации можно складывать или вычитать. Она отражает сохранение количества вещества.

Для массовой доли рассуждение такое же. Если к раствору добавляют чистую воду, то m_{вещества} до и после процесса совпадает. Поэтому можно записать ω₁ × m₁ = ω₂ × m₂. Здесь массовые доли следует представить либо обе в процентах, либо обе долями единицы. Например, 12 % можно записать как 0,12.

Смешивание растворов одного вещества

Когда смешивают растворы одного и того же вещества, например два раствора NaCl, нужно сложить количество соли, пришедшее из каждой порции. Для молярной концентрации количество вещества первого раствора равно c₁V₁, второго равно c₂V₂. Если объёмы при смешивании можно считать аддитивными, то общий объём V равен V₁ + V₂. Концентрация смеси находится так:

c_смеси = (c₁V₁ + c₂V₂) / (V₁ + V₂).

Ответ должен лежать между исходными концентрациями, если смешиваются только два раствора одного вещества. Так, при соединении 0,2 моль/л и 0,8 моль/л нельзя получить 1,1 моль/л или 0,1 моль/л. Это быстрая проверка результата. Концентрация будет ближе к той исходной концентрации, раствора которой взяли больше.

Для массовой доли вместо объёмов используют массы растворов: ω_смеси = (ω₁m₁ + ω₂m₂) / (m₁ + m₂). Масса сохраняется проще, чем объём. Поэтому в задачах на массовую долю не нужно знать плотность, если массы исходных растворов уже даны.

Алгоритм решения задач

1. Уточните, какой показатель концентрации дан: массовая доля, молярная концентрация или другой.
2. Запишите, что сохраняется: масса растворённого вещества либо его количество в молях.
3. Выразите это количество для каждого исходного раствора.
4. Составьте уравнение баланса, не смешивая граммы с молями.
5. Проверьте единицы и оцените ответ: после разбавления концентрация должна снизиться, а при смешивании оказаться между исходными значениями.

Не стоит сразу подставлять числа в готовую формулу. Сначала полезно назвать физический смысл величин. Например, 20 г раствора с массовой долей 15 % содержат не 20 г, а 3 г растворённого вещества: 20 × 0,15 = 3. Такой промежуточный расчёт защищает от наиболее распространённой ошибки.

Пошаговая задача: разбавление водой

Условие. Имеется 200 мл раствора HCl с концентрацией 1,5 моль/л. Какой объём воды нужно добавить, чтобы получить раствор с концентрацией 0,50 моль/л?

Шаг 1. Записываем сохранение количества кислоты: c₁V₁ = c₂V₂. Миллилитры можно оставить, поскольку оба объёма измерены в мл.

Шаг 2. Находим конечный объём: V₂ = c₁V₁ / c₂ = 1,5 × 200 / 0,50 = 600 мл.

Шаг 3. Вычисляем объём добавленной воды: V_воды = 600 − 200 = 400 мл. Ответ: к исходному раствору добавляют 400 мл воды. Концентрация уменьшилась в три раза, поэтому общий объём вырос в три раза, с 200 до 600 мл.

Пошаговая задача: смешивание двух растворов

Условие. Смешали 300 мл раствора NaCl с концентрацией 0,20 моль/л и 200 мл раствора NaCl с концентрацией 0,80 моль/л. Найдите молярную концентрацию смеси. Изменением объёма при смешивании пренебрегите.

Шаг 1. Переводим объёмы в литры: 300 мл = 0,300 л, 200 мл = 0,200 л.

Шаг 2. Находим количество вещества в первой порции: ν₁ = c₁V₁ = 0,20 × 0,300 = 0,060 моль.

Шаг 3. Находим количество вещества во второй порции: ν₂ = 0,80 × 0,200 = 0,160 моль.

Шаг 4. Складываем количества вещества и объёмы: ν = 0,060 + 0,160 = 0,220 моль; V = 0,300 + 0,200 = 0,500 л.

Шаг 5. Рассчитываем концентрацию: c = 0,220 / 0,500 = 0,44 моль/л. Ответ находится между 0,20 и 0,80 моль/л, значит результат правдоподобен.

Пошаговая задача: смешивание по массовой доле

Условие. Сколько граммов 20%-го раствора соли нужно добавить к 300 г 5%-го раствора, чтобы получить 10%-й раствор?

Шаг 1. Обозначим массу добавляемого 20%-го раствора через x г. В 300 г исходного раствора соли содержится 300 × 0,05 = 15 г.

Шаг 2. В добавляемом растворе масса соли равна 0,20x г. После смешивания масса раствора составит 300 + x г, а соли в нём будет 15 + 0,20x г.

Шаг 3. Составляем уравнение по конечной массовой доле: (15 + 0,20x) / (300 + x) = 0,10.

Шаг 4. Решаем: 15 + 0,20x = 30 + 0,10x; 0,10x = 15; x = 150 г. Ответ: нужно добавить 150 г 20%-го раствора. Проверка: соли станет 15 + 30 = 45 г, масса смеси 450 г, а 45 / 450 = 0,10, то есть 10 %.

Частые ошибки в расчётах

Первая ошибка состоит в том, что объём добавленной воды принимают за конечный объём раствора. В задаче на разбавление это разные величины: V₂ = V₁ + V_воды. Вторая ошибка заключается в сложении концентраций. Складывают не концентрации, а массы или количества растворённого вещества.

Ещё одна причина неверного ответа состоит в смешении процентов и долей единицы. В уравнении 5 % нужно записывать как 0,05, если остальные величины представлены в десятичном виде. Наконец, для молярной концентрации важно переводить миллилитры в литры, когда концентрация дана в моль/л. Единицы в каждой строке расчёта помогают заметить ошибку до получения окончательного ответа.